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　　数量关系之枚举法

　　华图教育刘杰

　　数学思想方法是数学中的理性认识，是数学的本质，是数学中高度抽象概括的内容，它蕴含于数学问题的解决过程中，它从教学内容中抽象和概括出来，是数学知识的精髓，是知识转化成能力的桥梁。枚举法就是一种重要的数学解题思想。在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，得出一般结论，那么这结论是可靠的。这种归纳方法叫做枚举法。

　　枚举法的步骤：将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。例如：找出1到100之间的质数，需要将1到100之间的所有整数进行判断。

　　什么时候使用枚举法?主要有以下两种情况：数据较小(少)，便于枚举时，采用枚举法;数据很大，按照某种规律交替反复时，可以通过简单枚举归纳总结规律以简便计算(不完全归纳)。

　　接下来我们看几道例题：

　　【例1】黑母鸡下1个蛋歇2天，白母鸡下一个蛋歇1天，两只鸡共下10个蛋最少需要多少天?

　　A. 10B. 11

　　C. 12D. 13

　　解析：简单枚举法引入，可用列表法。

　　因为每天下蛋的个数分别为：2、0、1、1、1、0、2、0、1、1、1…，每2、0、1、1、1、0，6个数字循环一次，一个循环周期里是6天，下蛋数有：2+1+1+1=5(个)，所以10÷5=2，则需要天数为：2×6=12(天)，又因第12天下蛋的个数为0，所以最少需要12-1=11(天)，故选B。

　　解决本题的关键是找出规律，再利用规律解答。注意：第2个周期的最后一天没有下蛋，所以第11天就足够10个鸡蛋.

　　【例2】餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的，3桶2升装的，8桶1升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升食用油?()

　　A.4B.5

　　C.6D.7

　　解析：列表法枚举，枚举时注意顺序。

　　采用枚举法求解。恰好要获得9升油，一共有如下6种方式：

　　【例3】某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权,没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况?

　　A. 1B. 2

　　C. 3D. 4

　　解析：第一轮有23 支队伍1 支轮空1 次，第二轮有12 支队伍轮空0 次，第三轮有6 支队伍轮空0 次，第四轮有3 支队伍有1 支轮空1 次，第五轮有2 支队伍轮空0 次，即总共会遇到1+1=2 次。答案选择B。

　　【例4】n为100以内的自然数，那么能令被7整除的n有多少个?()

　　A. 32B. 33

　　C. 34D. 35

　　数据较大时，注意总结规律，不完全归纳。

　　解析：枚举法。若n=0，=0，能被7 整除;若n=1，=1，不能被7 整除;若n=2，则=3，不能7 整除;若n=3，则=7能被7 整除;总结规律：当n 是3 的倍数的时候，是7 的倍数。在100 以内，从0 到99，3 的倍数共有34(注意自然数包括0)个。选择C。

　　当学生的数学知识达到一定水平，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界。只有掌握了一定的解题思想，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速正确的解题。数学思想是数学的精神所在，是指导人们思考问题与解决问题的原则。枚举法作为数学解题思想的重要组成部分，是学好数学知识的基础，而且还是人们数学素养的重要组成部分。枚举法蕴含在数学概念、数学知识的发生、发展和应用的过程中，掌握枚举法思想是学好数学的根基之一，也是数学教育的重要内容之一。

　　华图教育刘杰

　　2018年1月10日

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