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2025广西区考行测数量关系备考之几何中的最短距离问题

2024-11-29 09:32:33 广西公务员考试网 gx.huatu.com/gwy/ 文章来源:华图教育

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  近年来广西的区考中,数量关系考察题目数量相对稳定,为15题,根据统计,其中有一类题型是广西特别爱考察的题目,占比在40%左右,几乎占据了数量关系的半壁江山,

考点 2024年 2023年 2022年 2021年 2020年 2019年
排列组合 2 3 1 2 3 1
概率问题 1 1 1 1 2 2
基础应用题 2 3 5 2 2 1
不定方程 0 0 0 1 0 1
几何问题 6 5 6 6 4 4
经济利润问题 1 1 1 1 0 2
行程问题 0 0 0 1 1 1
工程问题 0 0 0 0 0 0
溶液问题 0 0 0 0 0 1
容斥问题 0 0 0 0 0 0
最值问题 0 1 0 0 1 0
数列问题 0 0 1 0 1 0
约数倍数问题 2 0 0 1 0 0
杂题 1 1 0 0 1 2
总题量 15 15 15 15 15 15

  其中,有一类几何问题格外值得留意,就是关于一条线段同侧两点到这个线段的距离之和最短问题,我们一起来看几道例题。

  【例1】A点、B点与墙的位置如下图所示,现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙,接触到墙后再跑到B点,问最少要多少秒到达B点?

  A.30

  B.34

  C.38

  D.42

  【解析】要用最短时间到达B点,在速度一定的情况下,需从A接触到墙后再跑到B点所走的路程最短。如图,由于A和B在墙的同侧,可考虑做其中一个点关于墙的对称点,该对称点与另一个点的连线即为最短路程。这是可以证明的。假设做A点的对称点C,因为C为A的对称点,所以墙上任意一点到A的距离和到C的距离是完全一样的,假设墙上取的点为E点,恒有EA=EC,AE+BE的最小值就是CE+BE的最小值,又因为两点之间直线最短。最短距离为BC。又因为CD=90米,BD=30+45+45=120米,由勾股定理可知最短距离BC=150米,则用时为30秒。

  这里,最主要的方法是要掌握,两点位于一个线段的同侧时,求两点到线段距离之和的最小值,需要做出一个对称点或者镜像点。然后利用两点之间直线最短,求出所需要的最小值。我们再来看一个更难一些的题目。

  【例2】如下图所示,某条河流一侧有A、B两家工厂,与河岸的距离分别为4km和5km,且A与B的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水,需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂,分别铺设排污管道连接A、B两家工厂。假定河岸是一条直线,则排污管道总长最短是:

  A.12km

  B.13km

  C.14km

  D.15km

  【解析】如下图所示,过污水处理厂做河岸的平行线HC,D为A关于HC的对称点,则最短距离为DB,由题污水厂离河1km可得A点距离到HC为HA=HD=3km,B点距离HC等于EH=4km,则DE=7km。由勾股定理可知BE的平方=11*11-1*1=120,所以DB的平方等于7*7+120=169,DB=13km。

  这道题相对于上一个题目是要求在河流的平行线上取一个点,所以多了一个步骤,但是核心思想都是相同的。

  又例如【例3】悟空与二郎神在离地面1米的空中决斗,两人相距2米,悟空想用分身直接偷袭二郎神,为了不引起对方的警觉,分身必须在地面反弹一次再进行攻击,则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为:

  【解析】要让分身到达二郎神的距离最短,两点之间连线最短,则应使悟空的分身镜像与二郎神之间的距离最短,如图得到分身的镜像,连线二郎神,距离最短为米。

  综上所述,这类题目在几何问题中是非常独特的一类题目,跟我们感官上垂直到线段上的距离为最短是有出入的,如何利用镜像和对称去找到最短距离是解开题目的关键所在,掌握这个方法能快速处理此类考题,给考生备考带来便利。

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