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　　提到容斥 问题 ，大家脑海中是不是出现了“集合”、“画图”的画面，没错， 对于容斥问题 最直观的解决方法的确是找到集合之间的关系，然后画图来解决问题。但是，今天小 编老师 给大家介绍 几种 更为简便的公式法，一 招直接解决容斥 问题。快拿出笔记本记下来啊!

　　介绍容斥问题 之前，大家可以思考个问题， 什么是容斥原理呢?

　　所谓容斥原理，就是 在计数的时候，找到 集合 重复的部分并且剔除 掉 的过程 ， 使 最终 计 数 的结果既无遗漏又无重复。

　　先给大家介绍下两个集合的容斥原理：

　　举个小例子：两个集合 A 、 B 分别代表班级中参加篮球小组和足球小组的人数，现在想知道班级中参加篮球和足球小组共有多少人?

　　通过画图可推出二 集合容斥公式 为： A+B-AB= 总数 - 两者都不满足数 ，在解题时直接用公式计算，这样就会节省每道题画图的时间。 大家一起来练习 一 道题：

　　【例 1 】某班学生总数为 32 人，第一次参加文娱晚会的有 26 人，第二次参加文娱晚会的有 24 人。若两次文娱晚会中都没有参加的学生有 4 人，则两次都参加文娱晚会的有多少人?

　　A. 22 B. 18

　　C. 30 D. 20

　　【思路点拨】 题干中分成参加两次文娱活动晚会的两个集合， 问的是交叉集合的人数，可以 判定 是容斥问题 。 学生总数为 32 人，第一次参加有 26 人、第二次参加有 24 人、两次都没参加的学生有 4 人，设两次都参加的人数为 x ，代入二 集合 容斥 公式 26 + 24 - x = 32 - 4 ，解得 x = 22 (人) 。 因此，选择 A 选项 。本题较为简单，直接套用公式即可，那接下来给大家介绍三 集合容斥公式 。

　　举个小例子：三个集合 A 、 B 、 C 分别代表班级中参加篮球小组、足球小组和羽毛球小组的人数，现在想知道班级中参加三个小组共有多少人?

　　通过画图可推出三 集合容斥公式 为： A+B+C-AC-BC-AB+ABC= 总数 - 三者都不满足数

　　大家要注意的是， 三集合和二集合不同点在于，中间 A BC 代表着同时参加三个小组的人数， 因为在减掉 A C 、 B C 、 A B 三个集合时，中间部分减掉了三次，所以 最终要加上同时参加的人数， 一定 不 能 忘记 哦 。 再看 一 道例题：

　　【例2】 某单位共有 240 名员工，其中订阅 A 期刊的有 125 人，订阅 B 期刊的有 126 人，订阅 C 期刊的有 135 人，订阅 A 、 B 期刊的有 57 人，订阅 A 、 C 期刊的有 73 人，订阅 3 种期刊的有 31 人，此外，还有 17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅 B 、 C 期刊的有多少人?

　　A. 57 B. 64

　　C. 69 D. 78

　　【思路点拨】 题干中订购 A 、 B 、 C 三种期刊，也就意味着三个集合，即 本题考查 三集合 容斥原理。应用三集合标准型容斥原理公式解题。设订阅 B 、 C 期刊的有 x 人， 代入三集合公式， 可列方程： 125 + 126 + 135 - 57 - 73 - x + 31 = 240 - 17 ，解得 x = 64 。因此，选择 B 选项。

　　在考试中 遇到容斥问题 ， 只要能够识别出题目是考查 集合容斥问题 ，直接用公式解题就会很简单，希望今天的分享能够帮助到大家，大家要继续加油努力 吖 !

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